Eksponensielle funksjoner kan modellere endringshastigheten i mange situasjoner, inkludert befolkningsvekst, radioaktivt forfall, bakterievekst, sammensatt interesse og mye mer. Følg disse trinnene for å skrive en eksponensiell ligning hvis du kjenner hastigheten som funksjonen vokser eller forfaller, og den opprinnelige verdien til gruppen.
Trinn
Metode 1 av 2: Bruke kursen som basen
Trinn 1. Tenk på et eksempel
Anta at en bankkonto startes med et innskudd på 1 000 dollar, og renten er 3% årlig. Finn en eksponensiell ligning som modellerer denne funksjonen.
Trinn 2. Kjenn den grunnleggende formen
Skjemaet for en eksponensiell ligning er f (t) = P0(1+r)t/t hvor P.0 er den opprinnelige verdien, t er tidsvariabelen, r er frekvensen og h er tallet som trengs for å sikre at enhetene t stemmer overens med frekvensen.
Trinn 3. Plugg inn den opprinnelige verdien for P og prisen for r. Du vil ha f (t) = 1 000 (1,03)t/t.
Trinn 4. Finn h
Tenk på ligningen din. Hvert år øker pengene med 3%, så hver 12. måned øker pengene med 3%. Siden du må gi t i måneder, må du dele t med 12, så h = 12. Din ligning er f (t) = 1 000 (1,03)t/12. Hvis enhetene er like for hastigheten og t -trinnene, er h alltid 1.
Metode 2 av 2: Bruke "e" som base
Trinn 1. Forstå hva e er
Når du bruker verdien e som basen, bruker du den "naturlige basen". Ved å bruke den naturlige basen kan du trekke den kontinuerlige vekstraten direkte fra ligningen.
Trinn 2. Tenk på et eksempel
Anta at en 500 gram prøve av en isotop av karbon har en halveringstid på 50 år (halveringstiden er hvor lang tid materialet skal forfalle med 50%).
Trinn 3. Kjenn den grunnleggende formen
Formen for en eksponensiell ligning er f (t) = aekt hvor a er den opprinnelige verdien, e er basen, k er den kontinuerlige vekstraten, og t er tidsvariabelen.
Trinn 4. Plugg inn den opprinnelige verdien
Den eneste verdien du får i ligningen er den opprinnelige vekstraten. Så, koble den til for å få f (t) = 500ekt
Trinn 5. Finn den kontinuerlige vekstraten
Den kontinuerlige vekstraten er hvor raskt grafen endrer seg på et bestemt øyeblikk. Du vet at om 50 år vil prøven forfalle til 250 gram. Det kan betraktes som et punkt på grafen som du kan koble til. Så t er 50. Koble den til for å få f (50) = 500e50k. Du vet også at f (50) = 250, så erstatt 250 med f (50) på venstre side for å få eksponensiell ligning 250 = 500e50k. For å løse ligningen, del først begge sider med 500 for å få: 1/2 = e50k. Ta deretter den naturlige logaritmen til begge sider for å få: ln (1/2) = ln (e50k. Bruk egenskapene til logaritmer for å ta eksponenten ut av argumentet til den naturlige loggen og multiplisere den med loggen. Dette resulterer i ln (1/2) = 50k (ln (e)). Husk at ln er det samme som logge og at egenskapene til logaritmer sier at hvis basen og argumentet til logaritmen er det samme, er verdien 1. Derfor er ln (e) = 1. Så ligningen forenkler til ln (1/2) = 50k, og hvis du deler med 50, lærer du at k = (ln (1/2))/50. Bruk kalkulatoren til å finne desimal tilnærming til k til å være omtrent -01386. Legg merke til at denne verdien er negativ. Hvis den kontinuerlige vekstraten er negativ, har du eksponensiell forfall, hvis den er positiv, har du eksponentiell vekst.
Trinn 6. Sett inn k -verdien
Ligningen din er 500e-.01386t.
Tips
- Det kan være lurt å lagre k -verdien i kalkulatoren slik at du kan beregne verdiene dine mer nøyaktig enn med en desimal tilnærming. X er en lett tilgjengelig variabel å bruke siden du ikke trenger å trykke "alfa" for å komme til den, men hvis du vil tegne ligningen, må du bruke en variabel som er angitt som en konstant, ellers legger du inn ekstra variabler.
- Du lærer raskt når du skal bruke hver metode. Vanligvis er problemer lettere ved å bruke den første metoden, men det er tider når du vet at bruk av den naturlige basen vil gjøre beregningene lettere senere.